Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.

В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение.

Рассмотрим пример пересечения поверхностей, для которого справедлива эта теорема.

Фронтальные проекции q₂ сферы Q и W₂ эллиптического цилиндра W, имеющих общую окружность m(m₂) с центром О(О₂) (рис.129).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 129. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра

Плоскость σ, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций.

Общая окружность радиуса r – это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость α которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии σ, а следовательно и П₂. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П₂ в виде отрезка прямой n₂. Для ее построения следует воспользоваться точками А и В, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.

Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 130. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра, имеющих две точки касания

Например, по двум окружностям m и n пересекается сфера S и эллиптический цилиндр Q (рис.130).  Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально проецирующих плоскостях γ и δ.

Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 131. Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу

В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра Q (рис.131), описанных около сферы W, будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостях a и b), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А₂В₂ и С₂Д₂,

Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.

Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 132. Пересечение сферы и цилиндра

Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра Θ и центром сферы S (рис.132). Плоскости принадлежат и симметричные сами себе точки A, B, C и D линий пересечения. Проекция же линий на фронтальную плоскость имеет форму параболы m₂ и аналитически описывается формулой параболы.