Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка |
Поверхностью
второго порядка называется множество точек
пространства, декартовы координаты,
которых удовлетворяют алгебраическому
уравнению второй степени.
Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.
В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.
Опуская
доказательства, приведем некоторые теоремы
и примеры, иллюстрирующие их применение.
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.
Рассмотрим пример пересечения поверхностей, для которого справедлива эта теорема.
Фронтальные проекции q2 сферы Q и W2 эллиптического цилиндра W, имеющих общую окружность m(m2) с центром О(О2) (рис.129).
Плоскость σ, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций.
Общая окружность радиуса r – это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость α которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии σ, а следовательно и П2. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П2 в виде отрезка прямой n2. Для ее построения следует воспользоваться точками А и В, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.
Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
||
а) модель | б) эпюр | |
Рисунок 130. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра, |
Например, по двум окружностям m и n пересекается сфера S и эллиптический цилиндр Q (рис.130). Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально проецирующих плоскостях γ и δ.
Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.
В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра Q (рис.131), описанных около сферы W, будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостях a и b), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А2В2 и С2Д2,
Теорема
Монжа находит эффективное применение при
конструировании трубопроводов.
Теорема
4. Если две поверхности
второго порядка имеют общую плоскость
симметрии, то линия их пересечения
проецируется на эту плоскость в виде кривой
второго порядка.
Плоскость
симметрии определена осью симметрии
цилиндра Θ
и центром сферы
S
(рис.132). Плоскости
принадлежат и симметричные сами себе точки A,
B,
C
и D
линий
пересечения. Проекция же линий на
фронтальную плоскость имеет форму параболы
m2 и аналитически описывается формулой
параболы.