Кривые конических сечений

  1. Эллипс
  2. Парабола
  3. Гипербола
Термины:
Конические сечения
Эллипс
Парабола
Гипербола
Фокус

Эллипс

Эллипс - замкнутая плоская выпуклая кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек (фокусов), лежащих на его большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

В технике широко применяется способ построения эллипса по большой АВ и малой CD осям/

Построение производится в следующей последовательности:

  1. Проводят две перпендикулярные осевые линии;

  2. От точки их пересечения откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси - отрезки, равные длине большой полуоси получаем точки A,B,C и D;

  3. Проводим две концентрические окружности диаметрами AB и CD;

  4. Проводим ряд лучей диаметров;

  5. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу;

  6. Полученные точки соединяют плавной кривой.

 

Парабола

Парабола - плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD1 - прямой, перпендикулярной оси симметрии параболы, и от фокуса F - точки, расположенной на оси симметрии параболы.

Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром p параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии параболы, называется вершиной параболы и делит  параметр p пополам.

Построение

Построение параболы при заданной величине параметра р

 

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

  1. Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

  2. Через точку K  перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1;

  3. Отрезок KF делят пополам получают вершину 0 параболы;

  4. От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

  5. Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

  6. На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

  7. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Постоение

Построение параболы при заданной вершине О, оси ОС и точки В

 

Построение параболы при заданной вершине 0, оси 0С и точки В  производится в следующей последовательности:

  1. Строят вспомогательный прямоугольник АВС0;

  2. Стороны АВ и А0 делят на равные части и полученные точки нумеруют;

  3. Горизонтальный ряд делений соединяют с вершиной 0, а через вертикальный ряд делений проводят прямые параллельные оси параболы;

  4. Точки пересечения горизонтальных прямых 11, 21, ... с лучами 01, 02, ...принадлежат параболе;

  5. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Построение

Гипербола

Гипербола - плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей. Разность расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов F1 и F2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы.

Рассмотрим алгоритм построения гиперболы по заданным вершинам A и B и фокусному расстоянию FF1:

  1. Делим фокусное расстояние пополам получаем точку 0;

  2. Слева от фокуса F отмечаем ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4, ... с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними;

  3. Строят вспомогательные окружности с центром в фокусе F радиусами R1=1B, R2=2B, R3=3B, R4=4B, ...;

  4. Строят вспомогательные окружности с центром в фокусе F1 и радиусами r1=1A, r2=2A, r3=3A, r4=4A, ...;

  5. Вспомогательные окружности пересекаясь определяют положение точек гиперболы (С, С1 - точки пересечения окружностей радиусов R1 и r1, D,D1- точки пересечения окружностей R2 и r2, и т.п.);

  6. Соединив точки плавной кривой получим правую ветвь гиперболы;

  7. Аналогично строится левая ветвь.