Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности. При построении на проекционном чертеже очерков поверхностей по заданному направлению проецирования, при определении контуров собственных теней также необходимо строить касательные плоскости к поверхности. Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью.

Рисунок 123. Плоскость касательная поверхности

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания   может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.

Плоскость α (рис.123), представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Любая кривая поверхности, проходящая через  точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α.

Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности.

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

Виды касания

В зависимости от вида поверхности, касательная плоскость может иметь с поверхностью как одну общую точку, так и множество точек. В зависимости от того, с каким случаем касания, мы имеем дело, точки, принадлежащие поверхности подразделяют на эллиптические, параболические и гиперболические:

1. Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости (рис.123). Такие точки называются эллиптическими.

2. В случае проведения касательной плоскости к торсовой поверхности, образованной непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии (частный случай - коническая поверхность), плоскость будет касаться поверхности по прямой линии – образующей. Точки, принадлежащие этой образующей, называются параболическими (рис.124).

   Рисунок 124. Параболические точки касания

3. Точки поверхности, в которых касательная плоскость пересекает поверхность, называют гиперболическими (рис.125). Гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность.

   Рисунок 125. Гиперболические точки касания

Задание касательной плоскости на эпюре Монжа

Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касательной плоскости к поверхности в данной точке, достаточно через эту точку провести две линии принадлежащие поверхности и к каждой из них провести касательные в заданной точке.

Касательной прямой к поверхности называется прямая, касательная к какой-либо кривой принадлежащей поверхности.

Рассмотрим на примере (рис.126) построение касательной плоскости  к параболоиду вращения Ф в точке М.

Рисунок 126. Построение касательной плоскости к параболоиду вращения

Для решения этой задачи через точку М проведем две кривые плоские линии n и m принадлежащие поверхности Ф. Линия n - окружность, лежащая в горизонтальной плоскости уровня проведенной через точку М, линия m – парабола, лежащая в горизонтально проецирующей плоскости проведенной через вершину параболоида и точку М. Чтобы построить касательную плоскость достаточно провести к данным линиям касательные.

Касательная к плоской кривой линии лежит в одной плоскости с ней. Так как линия n лежит в горизонтальной плоскости, то на плоскость П₁ она проецируется в натуральную величину n₁, что позволяет сразу построить горизонтальную проекцию касательной к ней t₁¹. На плоскость П₂ - окружность проецируется в прямую n₂, а фронтальная проекция касательной t₂¹ будет с ней совпадать.

Линия m лежит в горизонтально проецирующей плоскости, поэтому её горизонтальная проекция m₁ – прямая, определяющая и горизонтальную проекцию касательной t₁².  

На плоскость П₂ парабола проецируется с искажением m₂, поэтому для построения касательной, повернем поверхность Ф вокруг оси, до совмещения плоскости параболы с фронтальной плоскостью проекций, проекция точки М₂ при этом переместиться в положение точки М₂^*. 

Через эту точку проведем касательную t₂^2* к очерку параболоида. И обратным вращением находим проекцию касательной t₂².

Две пересекающиеся в точке М₂ прямые t₂¹ и t₂² определяют положение фронтальной проекции касательной плоскости α₂, а прямые t₁¹ и t₁² – горизонтальную проекцию касательной плоскость α₁.

Таким образом на эпюре получена плоскость α касательная к поверхности параболоида вращения в точке М.